-
- 30 January 2021 Алгебра
- Автор: Русская25
Выполнить действия [tex]\frac{z_1}{z_2}[/tex], z₁³ в тригонометрической форме с числами z₁=[tex]\sqrt{3} +i[/tex], z₂= -3-3i.
-
- 30 January 2021
- Ответ оставил: Artem112
Переведем числа в тригонометрическую форму:
[tex]z_1=\sqrt{3} +i[/tex]
[tex]|z_1|=\sqrt{(\sqrt{3} )^2+1^2} =2[/tex]
[tex]\arg z_1=\mathrm{arctg}\dfrac{1}{\sqrt{3} } =\dfrac{\pi}{6}[/tex]
[tex]\Rightarrow z_1=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} +i\sin\dfrac{\pi}{6} \right)[/tex]
[tex]z_2=-3-3i[/tex]
[tex]|z_2|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2} =3\sqrt{2}[/tex]
[tex]\arg z_2=\mathrm{arctg}\dfrac{-3}{-3}-\pi=\dfrac{\pi}{4} -\pi=-\dfrac{3\pi}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow z_2=3\sqrt{2} \left(\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) +i\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) \right)[/tex]
Для деления используется следующая формула:
[tex]\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{\rho_1}{\rho_2} \left(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right)[/tex]
[tex]\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{2}{3\sqrt{2} } \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)\right)[/tex]
[tex]\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{\sqrt{2}}{3 } \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)[/tex]
[tex]\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{\sqrt{2}}{3 } \left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{12}+\dfrac{9\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{12}+\dfrac{9\pi}{12}\right)\right)[/tex]
[tex]\boxed{\dfrac{z_1}{z_2} =\dfrac{\sqrt{2}}{3 } \left(\cos\dfrac{11\pi}{12}+i\sin\dfrac{11\pi}{12}\right)}[/tex]
Для возведения в степень используется следующая формула:
[tex]z^3=\rho^3 \left(\cos3\varphi+i\sin3\varphi\right)[/tex]
[tex]z_1^3=2^3\left(\cos\left(3\cdot\dfrac{\pi}{6}\right) +i\sin\left(3\cdot\dfrac{\pi}{6}\right) \right)[/tex]
[tex]\boxed{z_1^3=8\left(\cos\dfrac{\pi}{2} +i\sin\dfrac{\pi}{2} \right)}[/tex]
-
- НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?
Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: алгебра.
На сегодняшний день (21.10.2024) наш сайт содержит 16368 вопросов, по теме: алгебра. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос. -
Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных
Ответить на вопрос