• 
  • 21 February 2021
  Алгебра
  • Автор: Подсказочкa

  

  Решить в целых числах x^2=2003y-1, 2^x+1=3y^2, 3x=5y^2+4y-1

• 
  • 21 February 2021
  • Ответ оставил: OneGyrus

  Ответ:

  1)

  нет решений

  2)

  [tex]\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.[/tex]

  3)

  [tex]y=3k-1\\x=3k(5k-2)[/tex] , где [tex]k[/tex] - целое число

  Пошаговое объяснение:

  Здравствуйте!

  1)

  [tex]x^2 =2003y-1\\[/tex]

  Очевидно, что  [tex]x\neq 0 ; y>0[/tex]

  Заметим, что число [tex]2003[/tex] - простое ( сначала будет считать, что [tex]x>0[/tex], в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на

  Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем:

  [tex]x^{2002} = 2003k+1[/tex]  ( дает при делении на [tex]2003[/tex] остаток [tex]1[/tex] )

  [tex]x^2 = 2003y-1[/tex]

  Возведем обе части равенства в [tex]1001[/tex] степень:

  [tex](x^2)^{1001} = (2003y-1)^{1001}\\x^{2002} = (2003y-1)^{1001}\\[/tex]

  Поскольку в биноме Ньютона : [tex](2003y-1)^{1001}[/tex]  каждый член, помимо члена  [tex](-1)^{1001}[/tex], помножен на некоторую натуральную степень числа [tex]2003[/tex], то  [tex](2003y-1)^{1001} = 2003k +(-1)^{1001}=2003k-1[/tex]  , поскольку [tex]1001[/tex] - нечетное.

  Таким образом, [tex]x^{2002}[/tex] дает при делении на [tex]2003[/tex] остаток [tex]-1[/tex] или [tex]2002[/tex], то есть мы пришли к противоречию, а значит решений в целых числах нет.

  2)

  [tex]2^x +1 =3y^2[/tex]

  Очевидно, что [tex]x\geq 0[/tex] ,поскольку в противном случае левая часть равенства нецелое число, а правая часть равенства целое число.

  Предположим, что [tex]x\geq 2[/tex] , тогда [tex]2^x[/tex] делится на [tex]4[/tex], а значит [tex]2^x+1[/tex] дает при делении на 4 дает остаток 1.

  Левая часть равенства число нечетное, но тогда и [tex]3y^2[/tex] - нечетное, а значит [tex]y[/tex] - также нечетное.

  [tex]y=2k-1[/tex] , где [tex]k[/tex]  целое число

  [tex]3y^2= 3(2k-1)^2 = 3(4k^2-4k+1) = 4n+3[/tex] , где [tex]n[/tex]-целое число

  Таким образом, [tex]3y^2[/tex]  дает при делении на [tex]4[/tex] остаток  [tex]3[/tex] , но [tex]2^x+1[/tex] дает при делении на 4 остаток 1, то есть мы пришли к противоречию.

  Откуда: [tex]0\leq x\leq 1[/tex]

  Проверим [tex]x=0[/tex]

  [tex]2^0+1=3y^2\\2=3y^2[/tex]

  Решений в целых числах нет.

  Проверим [tex]x=1[/tex]

  [tex]2^1 +1 =3y^2\\3=3y^2\\y^2=1\\y=+-1[/tex]

  То есть решение уравнения :

  [tex]\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.[/tex]

  3)

  [tex]3x=5y^2+4y-1[/tex]

  Разложим квадратный трехчлен из правой части на множители:

  [tex]5y^2+4y-1 = 0[/tex]

  [tex]D/4 = 2^2 -5*(-1) = 9 = 3^2\\y_{1,2} =\frac{-2+-3}{5}\\y_{1} =-1\\y_{2} =\frac{1}{5}\\5y^2+4y-1 = 5(y+1)(y-\frac{1}{5} ) =(y+1)(5y-1)\\3x = (y+1)(5y-1)[/tex]

  Поскольку, число [tex]3[/tex] простое , то хотя бы один из членов [tex]y+1[/tex] или [tex]5y-1[/tex] делится на 3

  Необходимо заметить, что если [tex]y+1[/tex] делится [tex]3[/tex] , то [tex]5(y+1) =5y+5[/tex] , также делится на 3 , а значит 5y+5-6 =5y-1 делится на 3.

  Обратное утверждение также верно, если [tex]5y-1[/tex] делится на [tex]3[/tex] , то [tex]5y-1+6[/tex] делится на 3.

  [tex]5y+5= 5(y+1)[/tex] делится на [tex]3[/tex], а поскольку

  [tex]5[/tex] и [tex]3[/tex] -взаимнопростые, то [tex]y+1[/tex] делится на  3

  Таким образом , для существования целых решений необходимо и достаточно, чтобы  [tex]y+1[/tex] делилось на [tex]3[/tex]

  [tex]y=3k-1[/tex] , где [tex]k[/tex] - целое число.

  Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много целых решений:

  [tex]y=3k-1\\x=(y+1)(5y-1)\\x=\frac{3k(5(3k-1)-1)}{3} = k(15k-6) =3k(5k-2)[/tex], где [tex]k[/tex]- целое число (может быть равно 0)

  Возможно, в последнем уравнении есть ошибка, ибо очень просто.

  Если вам понравился ответ, сделай его лучшим!

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: алгебра.
  На сегодняшний день (02.08.2025) наш сайт содержит 16368 вопросов, по теме: алгебра. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы