• 
  • 03 January 2021
  Алгебра
  • Автор: Подсказочкa

  

  Решить уравнение в целых числах 4ab+4bc+4ac=5abc+14

• 
  • 03 January 2021
  • Ответ оставил: OneGyrus

  Ответ: Все перестановки (1;5;6) , (1;2;3)

  Объяснение:

  [tex]4ab+4bc+4ac=5abc+14[/tex]

  Поскольку левая часть делится на 4, то и правая часть делится на 4.

  Число 14- четное, но тогда и число [tex]5abc-[/tex] четное

  То есть среди чисел [tex]a,b,c[/tex] - хотя бы одно четное. Пусть произвольно, в силу симметрии задачи:

  [tex]a=2x[/tex]

  [tex]8bx +4bc+8cx = 10bcx +14\\4bx +2bc+4cx = 5bcx +7\\[/tex]

  Левая часть остается четной, а значит и правая часть должна быть четной, но поскольку 7- нечетное число, то [tex]5bcx[/tex] - тоже нечетное число, а значит все числа [tex]b,c,x[/tex] - нечетные.

  Предположим, что [tex]c,b,x \neq 0[/tex]

  Поделим обе части равенства на [tex]cbx[/tex]

  [tex]\frac{4}{c} +\frac{2}{x} +\frac{4}{b}- \frac{7}{cbx} = 5[/tex]

  Предположим, что одновременно верно, что :`

  [tex]|c|>1\\|b|>1\\|x|>1[/tex]

  Но тогда, в силу того, что все числа целые, а так-же того, что какой бы знак не имели числа x,b,c, всегда хотя бы одно из выражений :

  4/c; 2/x ; 4/b ; -7/cbx  - отрицательно.

  Действительно, если  окажется, что -7/сbx > 0 , то хотя бы  одно из чисел с,b,x меньше нуля.

  [tex]\frac{4}{c} +\frac{2}{x} +\frac{4}{b}- \frac{7}{cbx} \leq \frac{4}{2} +\frac{2}{2} +\frac{4}{2}- \frac{7}{8} = 5- \frac{7}{8} < 5[/tex]

  Поскольку, число 7/8 - cамое маленькое среди данных 4-x чисел.

  То есть мы пришли к противоречию, а значит, хотя бы одно из чисел, a,b,x  равно +-1.  Тогда в силу симметрии задачи, в уравнении

  [tex]4ab+4bc+4ac=5abc+14[/tex]

  одно из чисел a,b,c равно либо +-1 либо +-2.

  1) [tex]a=1[/tex]

  [tex]4b+4bc+4c=5bc+14\\4b+4c-bc = 14\\4b +c(4-b) = 14\\4b-16 +c(4-b) =-2\\ -4(4-b) +c(4-b) = -2\\ (c-4)(b-4) = 2\\ \left \{ {{c-4=+-2;+-1} \atop {b-4=+-1;+-2}} \right. \\[/tex]

  [tex]c_{1} =6\\b_{1} =5[/tex]

  [tex]c_{2} =5\\b_{2} =6[/tex]

  [tex]c_{3} =2\\b_{3} =3[/tex]  

  [tex]c_{4} =3\\b_{4} =2[/tex]

  В силу симметрии задачи, все перестановки чисел 1,2,3 и 1,5,6  являются решениями системы.

  2) [tex]a=-1[/tex]

  [tex]-4b +4bc -4c = -5bc +14\\-4b-4c+9bc = 14\\4b+4c-9bc = -14\\4b +c(4-9b) = -14\\36b+9c(4-9b)= -126\\36b-9c(9b-4) =-126\\36b-16 -9c(9b-4) = -142\\4(9b-4) - 9c(9b-4) = -142\\(9c-4)(9b-4) = 142\\142=2*71\\9c-4= 71\\9c=75 - netreshenij\\9c-4=-71\\9c=-67 - netreshenij[/tex]

  В других случаях из симметрии так же нет решений.

  3) [tex]a=2[/tex]

  [tex]8b +4bc +8c = 10bc+14\\4b+2bc+4c =5bc+7\\4b-3bc+4c = 7 \\4b - c(3b-4) = 7\\12b-3c(3b-4)=21\\12b -16 -3c(3b-4) = 5\\(3b-4)(3c-4)=-5\\3b-4=5\\b=3 - etot sluchai yzhe bil\\3b-4=1\\3b=5 - net reshenij\\[/tex]

  В других случаях так же нет решений.

  4) [tex]a=-2[/tex]

  [tex]-8b +4bc-8c = -10bc+14\\-4b+2bc-4c = -5bc +14\\-4b + 7bc -4c = 14\\-4b +c(7b-4) = 14\\-28b+7c(7b-4) = 98\\-28b +16 +7c(7b-4) = 114\\(7c-4)(7b-4) = 114 \\7c-4 = +-57\\7c = 61 - net reshenij\\7c=-53 -net reshenij\\[/tex]

  Таким образом больше решений нет.

  Осталось рассмотреть: [tex]a=0[/tex]

  [tex]4bc=14[/tex]

  Решений нет.

  Примечание: можно было получить разложение сразу для произвольного a, а потом просто подставлять в него различные a. Так было бы немного быстрее и компактнее.

  [tex](4a+4c-5ac)(4a+4b-5ab) = 16a^2-70a+56[/tex]

  Получено по тому же самому алгоритму, что и в данных примерах.

  То есть подставляем : a=+-1 ; +-2; 0  получаем все те же самые случаи.

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: алгебра.
  На сегодняшний день (21.07.2025) наш сайт содержит 16368 вопросов, по теме: алгебра. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы