• 
  • 21 February 2021
  Алгебра
  • Автор: sashablazhko3

  

  найдите все натуральные a,b,c и n, удовлетворяющие уравнению: 2^n=a!+b!+c!​

• 
  • 21 February 2021
  • Ответ оставил: igorShap

  Ответ:

  2^3=1!+1!+3!, 2^2=1!+1!+2!, 2^5=2!+3!+4!,  2^7=2!+3!+5!

  Объяснение:

  Заметим, что:

  1) т.к. n - натуральное, то 2^n четно

  2) x! четно для любого натурального x, большего 1 (и правда, ведь в разложении на простые множители будет присутствовать по крайней мере одна 2), а 1!=1 - нечетно

  3) Сумма 3 слагаемых a!, b! и c! равна четному числу тогда, и только тогда, когда одно из слагаемых четно, а четности двух других совпадают.

  Тогда возможны 2 случая:

  1. Два нечетных слагаемых и одно четное. Тогда нечетные слагаемые равны 1! Пусть, без ограничения общности, a=b=1, c>1. Тогда

  2^n=2+c! [оценка: 2^n>=2+1=3>2 => n>1]

  2(2^(n-1)-1)=c!

  Если c>=4, то 2(2^(n-1)-1) делится на (2*4) => (2^(n-1)-1) делится на 4. Но 2^(n-1) для n>1 дает остатки 2 или 0 при делении на 4 => (2^(n-1)-1) дает остатки 1 или 3 при делении на 4, но не 0. Противоречие. А значит с<4.

  с=3: 2^(n-1)-1=3 => 2^(n-1)=4 => n-1=2 => n=3

  c=2: 2^(n-1)-1=1 => 2^(n-1)=2 => n-1=1 => n=2

  2. Все слагаемые четны. Тогда a,b,c>1.

  Пусть, без ограничения общности, a<=b<=c. Тогда c! и b! делятся на a!. А тогда и сумма a!+b!+c! делится на a!. Значит и 2^n делится на a!.  

  Если a>2, то a! делится на 3 => 2^n делится на 3 - противоречие.  

  Значит a=2.

  2^n=2+b!+c!, 2<=b<=c [оценка: 2^n>=2+2+2=6>4 => n>2]

  Если b>=4, то c>=4. При этом b! и c! кратны (2*4). Тогда 2^n-2=2(2^(n-1)-1) кратно 2*4 => (2^(n-1)-1) кратно 4. По доказанному выше, это невозможно.

  Значит b<4.

  b=2: 2^n=4+c!, c>=2

  4(2^(n-2)-1)=c! , т.е. с! кратно 4. А значит с>=4. Но тогда 4(2^(n-2)-1) кратно (2*4) => (2^(n-2)-1) кратно 2, т.е. нечетное число (т.к. n>2) кратно 2 - противоречие.  

  b=3: 2^n=8+c!, c>=3 [оценка: 2^n>=8+6=14>8 => n>3]

  8(2^(n-3)-1)=c! , т.е. с! кратно 8. А значит с>=4.

  c=4: 8(2^(n-3)-1)=8*3 => 2^(n-3)-1=3 => n-3=2 => n=5

  c=5: 8(2^(n-3)-1)=8*15 => 2^(n-3)-1=15 => n-3=4 => n=7

  Если c>=6, то с! делится на 2*4*2=8*2. Тогда 8(2^(n-3)-1) делится на 8*2 => (2^(n-3)-1) делится на 2, т.е. нечетное число (т.к. n>3) кратно 2 - противоречие.

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: алгебра.
  На сегодняшний день (14.07.2025) наш сайт содержит 16368 вопросов, по теме: алгебра. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы