• 
  • 12 March 2021
  Алгебра
  • Автор: gordeigyzeev228

  

  найдите минимальное значение функции
  [tex]y = {x}^{x} [/tex]
  и координаты самой низкой точки. Заранее спасибо​

• 
  • 12 March 2021
  • Ответ оставил: OneGyrus

  Ответ:

  [tex]y_{min} = \frac{1}{e} ^\frac{1}{e}[/tex]

  Объяснение:

  Здравствуйте!

  Преобразуем функцию:

  [tex]y=x^x = e^{xln(x) }[/tex]

  Найдем наименьшее значение функции:

  [tex]f(x) =xln(x)[/tex]

  [tex]f'(x) = ln(x) +x/x = ln(x)+1[/tex] , [tex]x\neq 0[/tex]

  [tex]ln(x) +1 = 0\\ln(x) = -1\\x=\frac{1}{e}\\\frac{1}{e^2} <\frac{1}{e} < 1}\\f'(1) = ln(1)+1 = 2 >0\\f'(\frac{1}{e^2} ) =ln(\frac{1}{e^2} ) = -2+1 = -1 <0\\[/tex]

  То есть [tex]\frac{1}{e }[/tex] - точка минимума.

  Поскольку [tex]e>1[/tex] , то [tex]y_{min} = \frac{1}{e} ^\frac{1}{e}[/tex]

  Если вам понравился ответ, сделай его лучшим.

  0
• 
  • 12 March 2021
  • Ответ оставил: MaxLevs

  Ответ:

  По Лопиталю если [tex]f'(x) = g'(x)[/tex], то [tex](\ln(f(x)))' = (\ln(g(x)))'[/tex].

  Применяем:

  [tex]y = x^x[/tex]

  [tex]\ln(y) = x \cdot \ln(x)[/tex]

  [tex](\ln(y))' = (x \cdot \ln(x))'[/tex]

  [tex]\frac{y'(x)}{y(x)} = x' * \ln(x) + x * (\ln(x))'[/tex]

  [tex]\frac{y'(x)}{y(x)} = \ln(x) + \frac{x}{x}[/tex]

  [tex]\frac{y'(x)}{y(x)} = \ln(x) + 1[/tex]

  [tex]y'(x)= y(x) \cdot (\ln(x) + 1)[/tex]

  [tex]y'(x)= x^x \cdot (\ln(x) + 1)[/tex]

  Найдем экстремумы:

  [tex]y'(x)= x^x \cdot (\ln(x) + 1) = 0[/tex]

  Произведение равняется 0, если один из операндов равен 0.

  [tex]x^x \neq 0[/tex], так как [tex]0^0[/tex] - неопределённость.

  [tex]\ln(x) + 1 = 0\\\ln(x) = -1\\x = \frac{1}{e}[/tex]

  [tex]y = x^x = (\frac{1}{e})^\frac{1}{e}[/tex]

  0
• 
  • НЕ НАШЛИ ОТВЕТ?

  Если вас не устраивает ответ или его нет, то попробуйте воспользоваться поиском на сайте и найти похожие ответы по предмету школьной программы: алгебра.
  На сегодняшний день (10.05.2025) наш сайт содержит 16368 вопросов, по теме: алгебра. Возможно среди них вы найдете подходящий ответ на свой вопрос.

  Найти другие ответы
• Нажимая на кнопку "Ответить на вопрос", я даю согласие на обработку персональных данных

  Ответить на вопрос

Последние опубликованные вопросы